lunes, 8 de abril de 2013


DEFINICIÓN DE CONJUNTOS :
 

Historia :

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.2 Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades .

DEFINICIÓN:
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

 EJEMPLOS :

A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.


Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo :n 1 a A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc.

CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS:


Por Extensión y por Comprensión:
Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique
 

a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular)







Por comprensión
Por extensión

A = {Números dígitos}

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B = {Números pares]

B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}

C = {Múltiplos de 5}

C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}
 
OPERACIONES CON CONJUNTOS :


UNIÓN:

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCIÓN:

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIO :

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

 
Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

CONJUNTOS AJENOS :

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO :

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

 

 
DIFERENCIA :

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

DIAGRAMAS DE VENN :

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

CLASES DE CONJUNTOS:


 
Conjunto Finito:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.

Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensión es:

A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

 

Conjunto Infinito:

Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contarse considera  como conjunto infinito.

 Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}

Conjunto Unitario:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Un ejemplo:

C = {luna}

Conjunto Vacío:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes, ejemplos:

D = {x/x son perros con alas}

E = { }

Se considera el conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto.

Conjunto Universal o Referencial:

Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.

Por ejemplo, dados:

A = {1, 3, 5, 7}        B = {2, 3, 4}        C = { 6, 7, 8, 9}

El conjunto universal o referencial es:

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 

Conjuntos disyuntos o disjuntos

 

Son aquellos conjuntos que no tienen ningún miembro o elemento en común. Otra forma de expresarlos es decir que la intersección de dos o más conjuntos disyuntos o disjuntos es el conjunto vacío

Conjuntos equivalentes

Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo:

A = {a, b, c, d}

B = {1, a, I, alpha}

Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes


Conjuntos iguales
Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales:
A = { 2, 4, 6, 8, 10}
B = { 4, 10, 2, 8, 6}
Conjuntos homogéneos
Cuando sus miembros o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo un conjunto compuesto por letras únicamente, o por números, etc.
A = { a, l, m, p, r }
Conjuntos heterogeneos
Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de difefentes tipos, clases, géneros, etc.
B = { 1, a, prado, rojo}
Conjuntos congruentes
Dos conjuntos numéricos son congruentes cuando sus respectivos miembros se pueden poner en correspondencia uno a uno, de manera que la distancia entre ellos se mantenga:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {7, 9, 11, 13, 15}
Así:
2  y 7;  4 y 9;  6 y 11;  8 y 13; 10 y 15 tienen todos ellos como distancia entre ellos 5
 
Conjuntos no congruentes
Cuando entre dos conjuntos no se puede dar una correspondencia entre los miembros de los conjuntos, de manera que la distancia entre ellos no sea constante, los conjuntos se consideran no congruentes. Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, 10 }  C = {5, 6, 7, 8, 9}


BIBLIOGRAFIA:
 




 
INTEGRANTES :
- SUSAN PAOLA ZURITA OCAÑA
- GERARDO SALAS HORNA
- LUIS CASTRO BEJARANO
-  YAMELI YANIN  GUERRA GONZALES
-  WENDY RODRIGUEZ
 


7 comentarios:

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  2. El presente trabajo es una investigación grupal, el único motivo es dar a conocer los conjuntos, clases de conjuntos y operaciones con conjuntos.La información que apreciamos es clara y precisa puede decirse que es una información confiable por lo que lo hemos realizado en forma grupal, y como bien dice un dicho: "VARIAS CABEZAS PIENSAN MEJOR QUE UNA", la verdad es que nos hace muy fácil relacionar conjuntos con nuestra vida diaria pues lo relacionamos con cualquier trabajo que realicemos en nuestro hogar y fuera del hogar.

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  3. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  4. La información brindada es clara y concisa, en comparación con nuestro primer blog que creamos, este nuevo sobre el tema de conjuntos esta si se puede decir un poco mejor que el anterior eso quiere decir que estamos haciendo un buen uso de las herramientas del blog.

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  5. este glogger nos da a conocer todo lo que tenga que ver sobre conjuntos , creo que nos falto videos. pero cada dia estamos mejorando en lo que nos falta.

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  6. El tema esta muy interesante y cada dia van a mejorar mas.."suerte"

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  7. gran aporte para los lectores que buscan información rápida. Podemos mejorar e incluir libros más confiables para ayudar a la comunidad lectora.

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