DEFINICIÓN DE CONJUNTOS :
Historia :
El concepto de
conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el
siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.2
Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas
relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de
Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente
conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de
equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las
hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye
usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos
numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus
propiedades .
DEFINICIÓN:
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
EJEMPLOS :
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc.
CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS:
Por Extensión y por Comprensión:
Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique
a) Por extensión o
enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.
b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o
atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la
totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular)
Por comprensión |
Por extensión
|
A = {Números
dígitos}
|
A = {0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9}
|
B = {Números pares]
|
B = {2, 4, 6, 8,
10, 12, 14, ...}
|
C = {Múltiplos de
5}
|
C = {5, 10, 15, 20,
25, 30, 35...}
|
UNIÓN:
La unión de dos
conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al
menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = {
x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los
conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1,
3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCIÓN:
Sean A={ 1, 2, 3, 4,
5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes
a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección
de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe
así:
A Ç B
= { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto
de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y,
q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a,
b, o, r, s, y }
CONJUNTO
VACIO :
Un conjunto que no
tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por
el símbolo Æ .
Sean A={ 2, 4, 6 } y
B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de
A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es
el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS
AJENOS :
Sí la intersección de
dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les
llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B
= Æ entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO :
El complemento de un
conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no
pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por
comprehensión como:
A'={
x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
donde A Ì U
El complemento de A
estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
Sean A y B dos
conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no
están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={
x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d }
y
B= { a, b, c, g, h, i
}
A - B= { d }
En el ejemplo
anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no
estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los
elementos que están en B y no en A.
DIAGRAMAS
DE VENN :
Los diagramas de Venn
que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar
relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
CLASES DE CONJUNTOS:
Conjunto Finito:
Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden
contar o enumerar.
Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es
un conjunto finito que expresado por comprensión es:
A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}
Conjunto Infinito:
Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar
o contarse considera como conjunto
infinito.
Un ejemplo de
conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre
deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:
B = {x/x son las estrellas del universo}
Conjunto Unitario:
Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento.
Un ejemplo:
C = {luna}
Conjunto Vacío:
Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que
estos son inexistentes, ejemplos:
D = {x/x son perros con alas}
E = { }
Se considera el conjunto vacío como subconjunto de
cualquier conjunto.
Conjunto Universal o Referencial:
Se llama así al conjunto conformado por los miembros o
elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.
Por ejemplo, dados:
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 3, 4} C = { 6, 7,
8, 9}
El conjunto universal o referencial es:
U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjuntos disyuntos o disjuntos
Son aquellos conjuntos que no tienen ningún miembro o
elemento en común. Otra forma de expresarlos es decir que la intersección de
dos o más conjuntos disyuntos o disjuntos es el conjunto vacío
Conjuntos
equivalentes
Corresponde a los conjuntos con el mismo número
cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo:
A = {a, b, c,
d}
B = {1, a, I,
alpha}
Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes
Conjuntos iguales
Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos,
estos conjuntos son iguales:
A = { 2, 4, 6, 8, 10}
B = { 4, 10, 2, 8, 6}
Conjuntos
homogéneos
Cuando sus miembros o elementos que lo componen,
pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo un conjunto compuesto por letras
únicamente, o por números, etc.
A = { a, l, m, p, r }
Conjuntos heterogeneos
Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de
difefentes tipos, clases, géneros, etc.
B = { 1, a, prado, rojo}
Conjuntos congruentes
Dos conjuntos numéricos son congruentes cuando sus respectivos
miembros se pueden poner en correspondencia uno a uno, de manera que la
distancia entre ellos se mantenga:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {7, 9, 11, 13, 15}
Así:
2 y 7; 4 y 9;
6 y 11; 8 y 13; 10 y 15 tienen
todos ellos como distancia entre ellos 5
Conjuntos no congruentes
Cuando entre dos conjuntos no se puede dar una
correspondencia entre los miembros de los conjuntos, de manera que la distancia
entre ellos no sea constante, los conjuntos se consideran no congruentes.
Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, 10 }
C = {5, 6, 7, 8, 9}
BIBLIOGRAFIA:
INTEGRANTES :
- SUSAN PAOLA ZURITA OCAÑA
- GERARDO SALAS HORNA
- LUIS CASTRO BEJARANO
- YAMELI YANIN GUERRA GONZALES
- WENDY RODRIGUEZ
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ResponderBorrarEl presente trabajo es una investigación grupal, el único motivo es dar a conocer los conjuntos, clases de conjuntos y operaciones con conjuntos.La información que apreciamos es clara y precisa puede decirse que es una información confiable por lo que lo hemos realizado en forma grupal, y como bien dice un dicho: "VARIAS CABEZAS PIENSAN MEJOR QUE UNA", la verdad es que nos hace muy fácil relacionar conjuntos con nuestra vida diaria pues lo relacionamos con cualquier trabajo que realicemos en nuestro hogar y fuera del hogar.
ResponderBorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarLa información brindada es clara y concisa, en comparación con nuestro primer blog que creamos, este nuevo sobre el tema de conjuntos esta si se puede decir un poco mejor que el anterior eso quiere decir que estamos haciendo un buen uso de las herramientas del blog.
ResponderBorrareste glogger nos da a conocer todo lo que tenga que ver sobre conjuntos , creo que nos falto videos. pero cada dia estamos mejorando en lo que nos falta.
ResponderBorrarEl tema esta muy interesante y cada dia van a mejorar mas.."suerte"
ResponderBorrargran aporte para los lectores que buscan información rápida. Podemos mejorar e incluir libros más confiables para ayudar a la comunidad lectora.
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